Mi universo geométrico : septiembre 2015

jueves, 3 de septiembre de 2015

¿Y este blog para qué?

La Geometría esta más cerca de ti de lo que tú crees. Las figuras geométricas no sólo están en los libros de matemáticas; basta con que eches un vistazo a tu alrededor: estamos rodeados de circunferencias, cuadrados, rectángulos, líneas y ángulos. Es increíble la cantidad de figuras que podemos encontrar no solamente en las construcciones humanas sino también en la propia Naturaleza.

El propósito de este blog es que te percates de ello, que comprendas que la Geometría está en todos lados y la hagas tuya. Te proporcionaremos todo lo que necesitas para que te familiarices con ella; conozcas sus fundamentos y puedas relacionarlos con la vida cotidiana. Acude a él las veces que gustes, siempre es un buen momento para aprender.

¿Qué es la Geometría?

La palabra geometría se compone de las palabras griegas geo que significa tierra y metria que significa medida, es decir: medida de la tierra. La geometría es una parte de las matemáticas que estudia el espacio y las relaciones espaciales; los conjuntos de puntos que tienen propiedades comunes y/o diferentes; las propiedades de los cuerpos y de las figuras.

En otras palabras, la Geometría es la ciencia matemática que estudia el plano, el espacio y las figuras y cuerpos que en ambos pueden formarse.

Parece ser que el origen de la Geometría se remonta al Antiguo Egipto, con motivo de un reparto de tierras para el cultivo, realizado en tiempos del rey Sesostris.

Fuente: Carroquino, F. (1993). Geometría del plano I. Elementos básicos. Unidad didáctica. España: Ministerio de Educación y Ciencia.

Breve Historia de la Geometría

Es razonable pensar que los orígenes de la Geometría se encuentran en los primeros pictogramas del hombre primitivo, pues de manera inconsciente clasificaba los objetos que le rodeaban considerando su formas o dimensiones. Es en la abstracción de estas formas en donde comienza el primer acercamiento intuitivo e informal a esta rama matemática.

Muchos de los historiadores, en especial Heródoto (historiador griego del S.XV), concuerdan con que la Geometría tuvo origen en el Egipto; los egipcios la inventaron, según dicen, para remediar la confusión que las inundaciones del Nilo causaban comúnmente en sus tierras, borrando los límites que separaban las heredades. Los geómetras egipcios eran llamados tensadores de la cuerda, ya que la usaban para señalar las fronteras sobre el terreno.

La crecida del río Nilo.

Como puede observarse, las primeras civilizaciones, sobre todo Mesopotamia y Egipto, adquirieron poco a poco conocimientos geométricos de carácter meramente práctico. Estos eran esencialmente algunas fórmulas, o mejor dicho algoritmos expresados en forma de "receta", para calcular áreas y longitudes. Este conocimiento geométrico, tanto de los egipcios como de los mesopotámicos, pasó íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, los pitagóricos y Euclides.

La geometría griega es la primera en ser formal. Da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales (un rectángulo en lugar de una puerta, un círculo en lugar del ojo de un pozo) que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el compás. Pitágoras y sus seguidores asentaron definitivamente el concepto de demostración formal como una vía de establecimiento de la verdad en Geometría, lo cual permitió la medición de la tierra por Eratóstenes.

Eratóstenes y la circunferencia de la Tierra.

Euclides, matemático griego del S.III a.C., en su obra cumbre Los Elementos recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos geométricos existentes hasta su época en tan sólo cinco postulados. Su obra en XIII volúmenes perdura como única verdad geométrica hasta el Siglo XXI.

Dos personajes que contribuyeron en la Geometría son Arquímedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C) y Apolonio de Perga (262 a.C.-190 a.C.). El primero estudió ampliamente las secciones cónicas, introduciendo las primeras curvas que no eran rectas ni circunferencias, y calculó el volumen de la esfera; el segundo trabajó en construcciones de tangencias entre círculos, así como en secciones cónicas y curvas. Apolonio fue quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola a las figuras que conocemos actualmente.

Otros personajes que también se consideran como protagonistas de la Geometría son los siguientes:

Euclides, el padre de la Geometría.

Nicolás Copérnico (1473-1543).
Galileo Galilei (1564-1642).
Johannes Kepler (1571-1628)
Descartes (1596-1650).
Isaac Newton (1642-1727).

Fuentes:

Tortosa, L. y Vicent J. (2012). Geometría Moderna para Ingeniería. España: Club Universitario.

Jiménez, J. (2006). Matemáticas 2. México: Umbral.

Introducción a la Geometría

La Geometría está en todas partes

Mira este vídeo y reflexiona sobre la trascendencia que tiene la Geometría en la vida del hombre. Después de verlo, respóndete a ti mismo las siguientes preguntas:

¿Por qué es importante estudiar Geometría?
¿Qué figuras geométricas observo con mayor frecuencia a mi alrededor?
¿Qué es la Geometría para mí?

Ahora, te invitamos a leer este pequeño fragmento del libro El hombre que calculaba, de Malba Tahan:

No le admire, amigo mío –prosiguió el inteligente persa-, que yo quiera ver turbantes de forma geométrica. La geometría existe en todas partes. Procure observar las formas regulares y perfectas que presentan algunos cuerpos. Las flores, las hojas y muchos animales revelan simetrías admirables que deslumbran nuestro espíritu. La Geometría, repito, existe en todas partes. En el disco del Sol, en la hoja del datilero, en el arco iris, en la mariposa, en el diamante, en la estrella de mar y hasta en un pequeño grano de arena. Hay, en fin, infinita variedad de formas geométricas presentadas por la Naturaleza. Un cuervo, al volar lentamente por el cielo, describe figuras admirables; la sangre que circula por las venas de los camellos no escapa a los rigurosos principios geométricos; la piedra que se tira al importuno chacal, dibuja en el aire una curva perfecta.

La abeja construye sus alvéolos en forma de prismas hexagonales, y adopta esa forma geométrica, creo, para obtener mayor rendimiento y economía de material. La Geometría existe, como dijo el filósofo, en todas partes. Sin embargo, es preciso saber verla, tener inteligencia para comprenderla y alma para admirarla. El rudo beduino, ve las formas geométricas, mas no las comprende; el “sunita” las entiende pero no las admira; el artista, finalmente, mira la perfección de las figuras, comprende lo bello y admira el orden y la armonía. Dios fue un gran geómetra. Geometrizó la Tierra y el Cielo (...).

(Si deseas leer el libro completo, puedes consultarlo en el siguiente link: http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/pdf/El%20Hombre%20que%20Calculaba%20-%20Malba%20Tahan.pdf).

Los ángulos y su clasificación

Clasificación de los ángulos de acuerdo con sus medidas

De acuerdo con su medida se forman las siguientes clases de ángulos: agudo, obtuso, llano o de lados colineales, cóncavo y perígono.

Definiciones

Ángulo agudo. Ángulo que mide más de 0º pero menos de 90º.

Ángulo recto. Ángulo que mide 90º.

Ángulo obtuso. Ángulo que mide más de 90º pero menos de 180º.

Ángulo llano o de lados colineales. Ángulo cuyos lados son rayos opuestos. Su medida es 180º.

Ángulo cóncavo o entrante. Ángulo mayor que 180º pero menor de 360º.

Ángulo perigonal. Ángulo que se origina cuando un rayo gira y regresa a su posición inicial, es decir, su medida es de 360º.

Representación gráfica de ángulos.

Pares de ángulos especialmente importantes

Ángulos complementarios. Dos ángulos cuya suma da como resultado 90º. A cada ángulo se le llama complemento del otro.

Ángulos suplementarios. Dos ángulos cuya suma es 180º. A cada ángulo se le llama suplemento del otro.

Ángulos conjugados. Dos ángulos cuya da como resultado 360º. A cada ángulo se le llama conjugado del otro.

Ángulos adyacentes. Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común, pero no tienen puntos interiores comunes. Los lados no comunes a ambos ángulos se llaman lados exteriores de los dos ángulo adyacentes.

Ángulos opuestos por el vértice. Cuando dos rectas se intersecan, los pares de ángulos adyacentes que se forman se llaman opuestos por el vértice. Estos ángulos son congruentes.

Pares de ángulos

A continuación te presentamos dos ejercicios para que tengas una idea de en qué puede servirte conocer esta información:

Fuente: Cuellar, J. (2004). Matemáticas III. Geometría y Trigonometría. México: Mac Graw Hill.

Triángulo

El triángulo es un polígono de tres lados. Los puntos donde estos se cortan se llaman vértices. Para nombrarlo se pueden utilizar las tres letras de sus vértices sin que importe el orden, o bien emplear un número romano escrito dentro del triángulo.

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se clasifican en los siguientes tipos, según sus lados:

Triángulo equilátero. Es el que tiene los tres lados de igual longitud.

Triángulo isósceles. Es el que al menos dos de sus lados tienen igual longitud.

Triángulo escaleno. Es el que tiene los tres lados de diferente longitud.

De acuerdo a la medida de sus ángulos, los triángulos tienen la siguiente clasificación:

Triángulo rectángulo. Es el que tiene un ángulo de 90 grados.

Triángulo acutángulo. Es aquel que tiene tres ángulos agudos (menos a 90 grados).

Triángulo obtusángulo. Es el que tiene un ángulo obtuso.

Clasificación de los triángulos

Fuente: Nuñez, R. (2007). Geometría del triángulo y la circunferencia. España: Ittakus.

Rectas y puntos importantes de un triángulo

En los triángulos existen rectas y puntos notables que nos facilitan la resolución de problemas. Se llaman rectas notables de un triángulo a algunas rectas que quedan definidas con referencia a los tres vértices del triángulo, o bien, con respecto a los lados de este. Dado que para el trazado de estas rectas se requiere del uso de compás y regla a continuación te mostramos un vídeo en donde, de manera práctica, podrás aprender en qué consiste cada una de ellas y cómo puedes trazarlas.